Bremer war selbst einst als Rennfahrer aktiv. Seine sportliche Karriere hatte der heutige Jubilar 1961 beim BRC Endspurt Berlin begonnen, zwei Jahre später feierte er als Fahrer der Jugend-A seinen ersten Sieg, 1968 wurde er in die Nationalmannschaft berufen. Zu seinen größten sportlichen Erfolgen gehören der Titel bei der Deutschen Straßenmeisterschaft der Amateure sowie DM-Gold mit dem Straßenvierer des NRVg. Luisenstadt Berlin, beides im Jahr 1973. 1971 und 1974 gewann Burckhard Bremer auch die Silbermedaille im Mannschaftszeitfahren.

Nach dem Ende seiner aktiven Radsport-Laufbahn engagierte sich Bremer als Funktionär im Radsport. Er war Sportlicher Leiter bei der Rheinland-Pfalz-Rundfahrt sowie der Regio-Tour und organisierte unter anderem einen Lauf des Bahnrad-Weltcups 1998 sowie die UCI-Bahn-Weltmeisterschaften 1999 im Berliner Velodrom.

Für den nationalen Verband war Burckhard Bremer bereits seit 1983 als BDR-Kommissär tätig, ab 1985 schließlich auch als nationaler UCI-Kommissär. Zwischen 1987 und 1991 war der 70-Jährige Stellvertretender Vorsitzender des BDR-Sportgerichtes, später stand er der Technischen Kommission vor und wurde BDR-Vizepräsident. 1997 wurde er Nachfolger von Fritz Ramseier als Bundessportwart. Aus diesem Ehrenamt wurde der hauptamtliche Posten des Leistungssportdirektors, den Bremer von 2001 bis 2011 innehatte. Als Delegationsleiter des BDR begleitete er die deutschen Nationalmannschaften bei den Olympischen Spielen in Sydney, Athen und Peking und bei zahlreichen Weltmeisterschaften.

2008 erhielt Burckhard Bremer aufgrund seiner besonderen Verdienste um das Gemeinwohl Berlins sowie den Berliner Sport das Verdienstkreuz am Bande der Bundesrepublik Deutschland. Auch heute ist der Berliner noch eng mit dem Radsport verbunden. Burckhard Bremer ist regelmäßig bei verschiedensten Radrennen live vor Ort und interssiert sich stets für die aktuellen Geschehnisse.